Matemática

O que a questão pede

A conta pede só $p^2 + q^2$, em que $p$ e $q$ são as duas raízes de $z^2 - 2z + 2 = 0$. Não é preciso descobrir quem são $p$ e $q$: soma e produto bastam.

Passo a passo

1. Tire soma e produto da equação: com $a = 1$, $b = -2$ e $c = 2$, as relações de Girard dão $p + q = -\frac{b}{a} = 2$ e $pq = \frac{c}{a} = 2$. Isso vale mesmo quando as raízes não são reais, e "distintos" garante que $p$ e $q$ são as duas raízes.
2. Escreva o que foi pedido com soma e produto: como $(p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$, então $p^2 + q^2 = (p + q)^2 - 2pq$. O $2pq$ é o pedaço que sobra no quadrado da soma, e é ele que precisa sair.
3. Substitua os valores: $p^2 + q^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0$.
4. Confira por outro caminho: $\Delta = 4 - 8 = -4$, então $z = 1 \pm i$. Como $(1 + i)^2 = 2i$ e $(1 - i)^2 = -2i$, a soma dá $0$. Soma de quadrados igual a zero só assusta quem pensa em número real; aqui as raízes são complexas.
5. Marque a alternativa C: o valor pedido é $0$.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa incorreta

  Alternativa A: Sai de quem esquece de elevar a soma ao quadrado: $(p + q) - 2pq = 2 - 4 = -2$.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Não há conta plausível que leve a $-1$. Ela atrai quem lembra que $i^2 = -1$ e para no meio: em $(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2$, o $-1$ do $i^2$ cancela o $1$, e o resultado é $2i$.

• C

  Alternativa correta

  Alternativa C: $p + q = 2$ e $pq = 2$, então $p^2 + q^2 = 4 - 4 = 0$. Responde exatamente o que foi pedido.

• D

  Alternativa incorreta

  Alternativa D: É a que mais pega: sai de $(p + q)^2 - pq = 4 - 2 = 2$, esquecendo o $2$ do termo $2pq$. Também atrai quem copia o termo independente da equação, que é $2$.