Física

O que a questão pede

O comando quer o quadrado da razão $R = K/U$ entre a energia cinética $K$ e a energia potencial $U$ de uma partícula em MHS quando ela passa por $x = A/2$. Procure a relação entre a energia potencial nessa posição e a energia mecânica total na amplitude $A$. Ignore a massa da partícula e a constante elástica $k$, pois elas se cancelam na razão.

Passo a passo

1. Use a conservação da energia mecânica: queremos calcular $R^2 = (K/U)^2$, que é adimensional. Sem "forças resistivas", a energia mecânica total $E = K + U$ é constante em todo o movimento e permite achar $K$ por subtração assim que soubermos $U$.
2. Escreva a energia total e a potencial: no extremo $x = A$, a partícula para e toda a energia é potencial, valendo $E = \frac{1}{2}kA^2$. Em uma elongação qualquer $x$, a energia potencial elástica vale $U = \frac{1}{2}kx^2$.
3. Calcule a energia potencial na metade da amplitude: em $x = A/2$, temos $U = \frac{1}{2}k\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}kA^2\right) = \frac{1}{4}E$. Trabalhar com frações de $E$ é seguro porque elimina a constante $k$ e a amplitude $A$ de uma vez só.
4. Ache a energia cinética e a razão simples: como $K + U = E$, sobra para a energia cinética $K = E - \frac{1}{4}E = \frac{3}{4}E$. Dividindo as duas frações na ordem pedida pelo comando, encontramos $R = \frac{K}{U} = \frac{3/4\,E}{1/4\,E} = 3$.
5. Eleve ao quadrado e confira pela velocidade: o comando pede $R^2 = 3^2 = 9$. Por outro caminho, $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2) = \frac{3}{4}\omega^2 A^2$ dá a mesma razão $\frac{K}{U} = \frac{A^2 - x^2}{x^2} = \frac{3/4}{1/4} = 3$; marque a alternativa B.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa incorreta

  Alternativa A: Inverte a ordem da razão pedida no enunciado e calcula $R = U/K = 1/3$ em vez de $K/U = 3$. Ao elevar $1/3$ ao quadrado no último passo, chega ao inverso $1/9$.

• B

  Alternativa correta

  Alternativa B: Em $x = A/2$, a energia potencial guarda $U = \frac{1}{4}E$ e a cinética fica com $K = \frac{3}{4}E$. Isso dá $R = K/U = 3$ e, elevando ao quadrado, $R^2 = 9$.

• C

  Alternativa incorreta

  Alternativa C: Confunde a energia cinética $K$ com a energia total $E$ ao fazer $E/U = (A/x)^2 = 4$ sem elevar $R$ ao quadrado no fim, ou toma direto $R = A/x = 2$ e eleva ao quadrado para obter $2^2 = 4$.

• D

  Alternativa incorreta

  Alternativa D: É a que mais pega: calcula a fração da energia potencial em relação à total, $U/E = (A/2)^2 / A^2 = 1/4$, e para a conta ali. Faltou descontar $U$ de $E$ para achar $K = \frac{3}{4}E$, dividir $K/U = 3$ e elevar ao quadrado.