Matemática

O que a questão pede

A soma, em graus, dos dois menores ângulos internos do triângulo de lados $3\text{ m}$, $5\text{ m}$ e $7\text{ m}$. Não tente calcular os dois menores ângulos separadamente: descubra apenas o maior ângulo interno (que fica oposto ao lado de $7\text{ m}$) e tire o valor dele de $180^\circ$.

Passo a passo

1. Use a soma dos ângulos internos para simplificar o alvo: em qualquer triângulo, os três ângulos somam $180^\circ$. Se $\theta$ é o maior ângulo interno, oposto ao maior lado ($7\text{ m}$), a soma dos dois menores ângulos é simplesmente $180^\circ - \theta$. Isso reduz duas incógnitas a uma só.
2. Aplique a lei dos cossenos no maior lado: colocando o lado de $7\text{ m}$, oposto a $\theta$, isolado à esquerda, temos $7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos\theta$, o que dá $49 = 9 + 25 - 30\cos\theta$. Isolar o lado de $7\text{ m}$ garante que o cálculo é o do maior ângulo, e não um dos menores.
3. Resolva a equação para o cosseno e ache o maior ângulo: de $49 = 34 - 30\cos\theta$ sai $30\cos\theta = 34 - 49 = -15$, logo $\cos\theta = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$. Como $\theta$ é ângulo interno de um triângulo ($0^\circ < \theta < 180^\circ$), o único ângulo com cosseno igual a $-\frac{1}{2}$ é $\theta = 120^\circ$.
4. Calcule a soma pedida e confira o sinal: os dois menores ângulos somam $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. A conta bate com a geometria porque $7^2 = 49 > 3^2 + 5^2 = 34$, o que prova que o triângulo é obtusângulo ($\theta > 90^\circ$) e que os outros dois ângulos somam menos de $90^\circ$.
5. Marque a alternativa D: a soma das medidas dos dois menores ângulos internos é igual a $60$ graus.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa incorreta

  Alternativa A: É a que mais pega: não há conta plausível que leve a este valor, mas ele atrai quem multiplica o maior lado ($7\text{ m}$) por $10$ ou chuta um ângulo agudo sem aplicar a lei dos cossenos.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Não há conta plausível que leve a este valor. Ele imita o lado de $5\text{ m}$ multiplicado por $10$, mas exigiria o maior ângulo igual a $130^\circ$ em vez de $120^\circ$.

• C

  Alternativa incorreta

  Alternativa C: Não há conta plausível que leve a este valor. Ele imita a soma dos dois lados menores ($3 + 5 = 8$) multiplicada por $10$, o que deixaria $100^\circ$ para o maior ângulo.

• D

  Alternativa correta

  Alternativa D: Pela lei dos cossenos no lado $7$, $49 = 34 - 30\cos\theta \implies \cos\theta = -\frac{1}{2} \implies \theta = 120^\circ$, e os dois menores somam $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Responde ao comando.