Matemática

O que a questão pede

A área, em $\text{cm}^2$, do triângulo isósceles $YPK$ de base $YP$, sendo $P$ o centro do quadrado $XYZW$ de lado $2\text{ cm}$ e $K$ um ponto no prolongamento do lado $WX$. O caminho mais rápido é usar a diagonal $YW$, que contém a base $YP$ e faz $45^\circ$ com a reta do lado $WX$.

Passo a passo

1. Ache a medida da base pela diagonal do quadrado: o quadrado $XYZW$ tem lado $2\text{ cm}$, logo sua diagonal $YW$ mede $2\sqrt{2}\text{ cm}$. Como o centro $P$ divide a diagonal ao meio, temos $WP = YP = \sqrt{2}\text{ cm}$, que é a base do triângulo $YPK$.
2. Localize o pé da altura relativa à base na diagonal: como o triângulo $YPK$ é isósceles de base $YP$, a altura que parte de $K$ cai perpendicularmente à diagonal $YW$ no ponto médio $M$ do segmento $YP$. Assim, $PM = \frac{\sqrt{2}}{2}\text{ cm}$ e a distância de $W$ até $M$ vale $WM = WP + PM = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ cm}$.
3. Use o ângulo da diagonal para achar a altura do triângulo: a diagonal $YW$ forma $45^\circ$ com a reta suporte do lado $WX$, onde está o vértice $K$. Como $KM \perp YW$, o triângulo $WMK$ é retângulo em $M$ com ângulo de $45^\circ$ em $W$, logo é isósceles e tem catetos iguais: $KM = WM = \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ cm}$.
4. Calcule a área e confira por coordenadas: a área de $YPK$ é $\frac{YP \cdot KM}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5\text{ cm}^2$. Por geometria analítica, com $W = (0,0)$, $X = (2,0)$, $Y = (2,2)$ e $P = (1,1)$, a igualdade $KY = KP$ para $K = (k,0)$ dá $(k-2)^2 + 4 = (k-1)^2 + 1 \implies k = 3$, cuja área pelo determinante também dá $1{,}5\text{ cm}^2$.
5. Marque a alternativa D: a medida da área do triângulo isósceles é igual a $1{,}5\text{ cm}^2$.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa incorreta

  Alternativa A: Não há conta plausível que leve a este valor. Ele imita uma estimativa visual próxima da metade da área do quadrado ($2\text{ cm}^2$) para quem chuta pelo desenho.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Não há conta plausível que leve a este valor. Ele atrai quem arredonda $\sqrt{2}$ no meio da conta em vez de usar que $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ corta a raiz e dá exatos $1{,}5$.

• C

  Alternativa incorreta

  Alternativa C: É a que mais pega: toma o lado do quadrado ($2\text{ cm}$) como se fosse a altura relativa à base $YP = \sqrt{2}\text{ cm}$ e calcula $\frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}4\text{ cm}^2$.

• D

  Alternativa correta

  Alternativa D: Com base $YP = \sqrt{2}\text{ cm}$ e altura $KM = WM = \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ cm}$, a área vale $\frac{\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}/2}{2} = 1{,}5\text{ cm}^2$. Responde exatamente ao comando.