Matemática

O que a questão pede

Quantos números de cinco dígitos distintos, formados com os algarismos $1, 3, 4, 6$ e $7$, são menores do que $60\,000$. Quem decide se um número de cinco dígitos fica abaixo de $60\,000$ é apenas o primeiro dígito da esquerda; fixe essa casa primeiro e permute as outras quatro.

Passo a passo

1. Trave a restrição na primeira casa da esquerda: um número de cinco dígitos é menor do que $60\,000$ quando o algarismo da dezena de milhar é menor que $6$. Entre $1, 3, 4, 6$ e $7$, apenas $1$, $3$ e $4$ servem ($3$ opções). Começar pela casa restrita garante que nenhum número a partir de $60\,000$ entre na conta.
2. Conte as possibilidades para as quatro casas restantes: escolhido o primeiro dígito, sobram $4$ algarismos distintos para preencher as outras $4$ posições sem nenhuma restrição adicional. O número de modos de ordenar esses $4$ algarismos é $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
3. Multiplique as etapas pelo princípio fundamental da contagem: para cada uma das $3$ escolhas da primeira casa, há $24$ maneiras de completar o número, totalizando $3 \cdot 24 = 72$ números.
4. Confira pelo total menos o complementar: com $5$ dígitos distintos, existem ao todo $5! = 120$ números. Os que são maiores do que $60\,000$ começam com $6$ ou $7$, somando $2 \cdot 4! = 2 \cdot 24 = 48$ números. Fazendo $120 - 48 = 72$, o resultado se confirma.
5. Marque a alternativa A: existem exatamente $72$ números de cinco dígitos distintos menores do que $60\,000$.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa correta

  Alternativa A: A primeira casa tem $3$ opções ($1$, $3$ ou $4$) e os quatro dígitos restantes permutam de $4! = 24$ formas, resultando em $3 \cdot 24 = 72$. Responde exatamente ao comando.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Não há conta plausível que leve a este valor. Ele fica próximo de $2 \cdot 24 = 48$ (quantidade de números maiores que $60\,000$, começando por $6$ ou $7$), errando ainda a subtração.

• C

  Alternativa incorreta

  Alternativa C: Não há conta plausível que leve a este valor. Como as quatro últimas posições permutam de $4! = 24$ modos, o resultado precisa ser múltiplo de $24$, e $58$ só imita o limite de $60$ do enunciado.

• D

  Alternativa incorreta

  Alternativa D: É a que mais pega: acerta as $3$ opções da primeira casa, mas repete o fator $3$ nas casas seguintes fazendo $3^4 = 81$, confundindo permutação de dígitos distintos com potência.