Física

O que a questão pede

Queremos a razão $d'/d$ entre as densidades dos dois líquidos imiscíveis em equilíbrio num tubo em U. Procure a relação entre a subida $H$ no ramo esquerdo, a descida da interface no ramo direito e o desnível $Y$ entre os topos. Ignore o formato da curva inferior do tubo, pois a pressão hidrostática só depende da altura vertical das colunas acima da interface.

Passo a passo

1. Identifique a grandeza pedida e o nível de referência: queremos a razão adimensional $d'/d$ entre as densidades a partir das alturas $H$ e $Y$ na mesma unidade de comprimento. Pelo Teorema de Stevin, traçar a linha horizontal na interface entre os líquidos $d$ e $d'$ no ramo direito permite igualar as pressões das duas colunas acima dela.
2. Ache o desnível total do líquido mais denso: o tubo tem "seção reta uniforme" e os "líquidos são incompressíveis". Quando o nível livre sobe $H$ no ramo esquerdo acima do "nível primitivo", a interface no ramo direito desce os mesmos $H$ abaixo desse nível, abrindo uma coluna de altura $2H$ de líquido $d$ acima da interface.
3. Meça a coluna do líquido menos denso: o topo de $d'$ no ramo direito está a uma "distância vertical Y acima" do topo de $d$ no ramo esquerdo. Somando essa folga $Y$ aos $2H$ que separam o topo esquerdo da interface, a coluna inteira de líquido $d'$ mede $2H + Y$.
4. Iguale as pressões na linha da interface: como os dois ramos estão abertos para a mesma pressão atmosférica $P_0$, vale $P_0 + d g (2H) = P_0 + d' g (2H + Y)$. Cancelar $P_0$ e a gravidade $g$ dos dois lados protege a conta de depender do local e deixa $2H d = (2H + Y) d'$.
5. Isole a razão pedida e confira o caso-limite: dividindo os dois lados por $d(2H + Y)$, sai $\frac{d'}{d} = \frac{2H}{2H + Y}$. Para conferir, se $Y = 0$ (topos na mesma altura), a fórmula dá $d'/d = 1$, pois só líquidos de mesma densidade empatam os topos; marque a alternativa C.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa incorreta

  Alternativa A: É a que mais pega: mede as colunas a partir do "nível primitivo" e esquece que a interface desceu $H$ no ramo direito. Com isso, coloca $H$ no lugar de $2H$ e $H + Y$ no lugar de $2H + Y$, chegando a $H/(H + Y)$.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Iguala a subida $H$ diretamente ao desnível $Y$ entre os topos livres, escrevendo $d' Y = d H$. Essa conta ignora todo o trecho de altura $2H$ onde os dois líquidos ficam lado a lado acima da interface.

• C

  Alternativa correta

  Alternativa C: Subir $H$ na esquerda faz a interface descer $H$ na direita, criando coluna $2H$ de líquido $d$ contra $2H + Y$ de líquido $d'$. Igualando as pressões na interface, sai $d'/d = 2H/(2H + Y)$.

• D

  Alternativa incorreta

  Alternativa D: Troca a altura $2H$ da coluna de líquido $d$ pelo desnível $Y$ no numerador, ou calcula a diferença relativa $(d - d')/d = 1 - 2H/(2H + Y) = Y/(2H + Y)$. Se $Y = 0$, daria $d'/d = 0$, mas topos na mesma altura exigem $d'/d = 1$.