Física

O que a questão pede

Queremos a razão $V_a/V_b$ entre os módulos das velocidades de A e B para que o vetor $\overrightarrow{AB}$ fique sempre paralelo ao eixo $y$. Procure a condição sobre as coordenadas horizontais $x_A(t)$ e $x_B(t)$ que zera a componente horizontal desse vetor em qualquer instante. Ignore a componente vertical do movimento de B na conta, pois a distância vertical só cresce e não afeta o alinhamento vertical.

Passo a passo

1. Identifique a razão pedida e a condição geométrica: buscamos a razão adimensional $V_a/V_b$, com $V_a$ e $V_b$ na mesma unidade de velocidade. O vetor $\overrightarrow{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$ tem componente horizontal $x_B(t) - x_A(t)$, então ter "componente horizontal nula" para $t > 0$ exige $x_A(t) = x_B(t)$.
2. Decomponha as velocidades no eixo horizontal: a partícula A corre sobre o próprio eixo $x$ positivo, então sua velocidade horizontal é $V_{ax} = V_a$. Já a partícula B faz um ângulo $\theta$ com o "eixo x positivo", logo a projeção horizontal de sua velocidade é o cateto adjacente ao ângulo, valendo $V_{bx} = V_b \cos(\theta)$.
3. Iguale as posições horizontais em qualquer instante: como ambas saem da origem em MRU no mesmo instante, temos $x_A(t) = V_a t$ e $x_B(t) = V_b \cos(\theta) t$. Igualando $V_a t = V_b \cos(\theta) t$ e dividindo por $t > 0$, sai $V_a = V_b \cos(\theta)$, garantindo que A caminha sempre embaixo de B.
4. Isole a razão pedida e confira o caso-limite: dividindo os dois lados por $V_b$, obtemos $\frac{V_a}{V_b} = \cos(\theta)$. Para conferir, se $\theta$ tender a $0^\circ$, as duas partículas andam juntas sobre o eixo $x$ com $V_a/V_b = \cos(0^\circ) = 1$; marque a alternativa D.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa incorreta

  Alternativa A: É a que mais pega: troca o cateto adjacente pelo cateto oposto na decomposição de $\vec{V}_b$ e usa $V_b \operatorname{sen}(\theta)$ como velocidade horizontal. Como $\theta$ é medido a partir do eixo $x$, o seno dá a componente vertical $V_{by}$, não a horizontal.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Calcula a razão $V_{by}/V_{bx} = \operatorname{tg}(\theta)$ entre a componente vertical $V_b \operatorname{sen}(\theta)$ e a horizontal $V_a = V_b \cos(\theta)$. O comando pede a razão $V_a/V_b$ entre a velocidade horizontal e o módulo total $V_b$ (hipotenusa).

• C

  Alternativa incorreta

  Alternativa C: Divide a velocidade horizontal $V_a = V_b \cos(\theta)$ pela componente vertical $V_{by} = V_b \operatorname{sen}(\theta)$ em vez de dividir pelo módulo $V_b$, chegando a $\cos(\theta)/\operatorname{sen}(\theta) = \operatorname{cotg}(\theta)$.

• D

  Alternativa correta

  Alternativa D: Para $\overrightarrow{AB}$ ser vertical, $x_A(t) = x_B(t)$ exige que $V_a$ iguale a projeção horizontal $V_b \cos(\theta)$ da velocidade de B. Dividindo por $V_b$, resulta $V_a/V_b = \cos(\theta)$.