Matemática

O que a questão pede

O valor da expressão $\log_8 2 - \log_6 216 + \log_{81} 3 + \log_{10} 1$. Resolva cada um dos quatro logaritmos separadamente escrevendo $8$, $216$ e $81$ como potências de $2$, $6$ e $3$, e só junte as frações no final.

Passo a passo

1. Resolva os dois logaritmos em que a potência está na base: como $8 = 2^3$, temos $\log_8 2 = \log_{2^3} 2^1 = \frac{1}{3}$ (pois $8^{1/3} = 2$). Do mesmo modo, como $81 = 3^4$, temos $\log_{81} 3 = \log_{3^4} 3^1 = \frac{1}{4}$ (pois $81^{1/4} = 3$). Quando a base é maior que o logaritmando (ambos maiores que $1$), o logaritmo vira fração.
2. Resolva os dois últimos logaritmos da expressão: como $216 = 6^3$, sai direto $\log_6 216 = \log_6 6^3 = 3$. E na última parcela, $\log_{10} 1 = 0$, já que qualquer base válida elevada a zero vale $1$.
3. Substitua os quatro valores e tire o MMC: a expressão fica $\frac{1}{3} - 3 + \frac{1}{4} + 0$. Com denominador comum $12$, temos $\frac{4 - 36 + 3}{12} = \frac{7 - 36}{12} = -\frac{29}{12}$. Somar primeiro os positivos ($4 + 3 = 7$) antes de subtrair $36$ protege contra erro de sinal.
4. Confira por estimativa antes de marcar: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$ vale pouco mais da metade de $1$. Ao subtrair $3$ inteiros, o resultado precisa ficar entre $-2$ ($-\frac{24}{12}$) e $-3$ ($-\frac{36}{12}$), e $-\frac{29}{12}$ é a única alternativa abaixo de $-2$.
5. Marque a alternativa D: o valor numérico da expressão com os quatro logaritmos é $-\dfrac{29}{12}$.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa incorreta

  Alternativa A: Soma apenas as duas frações $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$, esquece a parcela $-\log_6 216 = -3$ e põe o sinal de menos no fim.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Troca $\log_6 216 = 3$ por $2$ (achando que $6^2 = 216$) e $\log_{10} 1 = 0$ por $1$, calculando $\frac{1}{3} - 2 + \frac{1}{4} + 1 = -\frac{5}{12}$.

• C

  Alternativa incorreta

  Alternativa C: É a que mais pega: monta certo $\frac{4 - 36 + 3}{12} = \frac{7 - 36}{12}$, mas erra o empréstimo na subtração $36 - 7$ e escreve $-19$ em vez de $-29$ no numerador.

• D

  Alternativa correta

  Alternativa D: Os quatro logaritmos valem $\frac{1}{3}$, $3$, $\frac{1}{4}$ e $0$, e $\frac{1}{3} - 3 + \frac{1}{4} = \frac{4 - 36 + 3}{12} = -\dfrac{29}{12}$. Responde exatamente ao comando.