Física

O que a questão pede

Queremos a razão $M/N$ entre a quantidade $M$ de capacitores de $100\text{ }\mu\text{F}$ e a quantidade $N$ de capacitores de $1000\text{ }\mu\text{F}$. Use a capacitância equivalente em paralelo ($2300\text{ }\mu\text{F}$) e em série ($31{,}25\text{ }\mu\text{F}$) para montar um sistema com $M$ e $N$. Ignore a tensão nominal de $25\text{ V}$, pois ela só indica o limite de operação e não entra na conta.

Passo a passo

1. Organize os dados na mesma unidade: queremos a razão adimensional $M/N$ entre quantidades inteiras de peças. Cada capacitor do tipo A tem $C_A = 100\text{ }\mu\text{F}$, cada um do tipo B tem $C_B = 1000\text{ }\mu\text{F}$, o paralelo dá $C_p = 2300\text{ }\mu\text{F}$ e a série dá $C_s = 31{,}25\text{ }\mu\text{F}$; como tudo está em $\mu\text{F}$, não converta para farads.
2. Monte a equação da associação em paralelo: em paralelo as capacitâncias se somam diretamente, logo $100M + 1000N = 2300$. Dividir todos os termos por $100$ simplifica os coeficientes sem alterar as raízes e entrega a primeira relação limpa, $M + 10N = 23$.
3. Monte a equação da associação em série: em série somam-se os inversos das capacitâncias, dando $\frac{M}{100} + \frac{N}{1000} = \frac{1}{31{,}25}$. Multiplicar os dois lados por $1000$ elimina as frações de uma vez e, como $\frac{1000}{31{,}25} = 32$, resulta na segunda equação, $10M + N = 32$.
4. Resolva o sistema para achar as quantidades: da primeira equação, isole $M = 23 - 10N$ e substitua na segunda para ter $10(23 - 10N) + N = 32$, ou seja, $230 - 99N = 32$. Passando $99N = 198$, encontramos $N = 2$ e, voltando na primeira relação, $M = 23 - 20 = 3$.
5. Calcule a razão e confira por inteiros: com $M = 3$ e $N = 2$, a razão pedida é $\frac{M}{N} = \frac{3}{2}$. Para conferir, em $M + 10N = 23$ com inteiros positivos, os únicos pares possíveis são $(3, 2)$ e $(13, 1)$, e só $(3, 2)$ fecha a conta em série; marque a alternativa A.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa correta

  Alternativa A: O paralelo dá $M + 10N = 23$ e a série dá $10M + N = 32$. Resolvendo o sistema, saem $M = 3$ e $N = 2$, o que leva à razão $M/N = 3/2$.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: É a que mais pega: divide diretamente os termos independentes das duas equações simplificadas, $10M + N = 32$ e $M + 10N = 23$, escrevendo $32/23$ sem isolar $M$ e $N$ no sistema.

• C

  Alternativa incorreta

  Alternativa C: Divide a capacitância de um único capacitor do tipo A pela de um do tipo B, fazendo $100/1000 = 1/10$. Essa razão é $C_A/C_B$, e não a razão $M/N$ entre as quantidades de peças.

• D

  Alternativa incorreta

  Alternativa D: Divide a capacitância total em paralelo ($2300\text{ }\mu\text{F}$) pela capacitância unitária do tipo B ($1000\text{ }\mu\text{F}$), obtendo $2300/1000 = 23/10$. Também sai de quem divide o total $23$ pelo coeficiente $10$ em $M + 10N = 23$ sem descontar $M$.