Matemática

O que a questão pede

O produto $x \cdot y \cdot z$ da solução do sistema dado pela equação matricial $3\times 3$. Não gaste tempo com determinante de Cramer nem escalonamento completo: como as linhas da matriz mudam apenas um coeficiente de uma para outra, subtraia as equações vizinhas para isolar $x$ e $y$ de imediato.

Passo a passo

1. Escreva as três equações do produto matricial: multiplicando cada linha da matriz pela coluna das incógnitas, saem $L_1: x + y + z = 6$, $L_2: 2x + 2y + z = 7$ e $L_3: x + 2y + z = 8$. Enxergar as três equações lado a lado mostra que $z$ tem coeficiente $1$ em todas elas.
2. Subtraia a primeira linha da terceira para achar a segunda incógnita: fazendo $(x + 2y + z) - (x + y + z) = 8 - 6$, os termos $x$ e $z$ se cancelam na hora e sobra $y = 2$. Subtrair equações que diferem em uma só incógnita evita carregar frações.
3. Subtraia a terceira linha da segunda e depois isole a última incógnita: fazendo $(2x + 2y + z) - (x + 2y + z) = 7 - 8$, cancelam-se $2y$ e $z$, dando $x = -1$. Substituindo $x = -1$ e $y = 2$ na primeira equação, temos $-1 + 2 + z = 6 \implies z = 5$.
4. Calcule o produto e confira na segunda equação: o produto pedido é $x \cdot y \cdot z = (-1) \cdot 2 \cdot 5 = -10$. Testando na equação $L_2$, temos $2(-1) + 2(2) + 5 = -2 + 4 + 5 = 7$, o que confirma que nenhum sinal foi trocado.
5. Marque a alternativa C: o produto das três incógnitas do sistema linear vale $-10$.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa incorreta

  Alternativa A: Acha $x = -1$ e $y = 2$, mas repete o valor $2$ no lugar de $z$ (ou faz $6 - 4 = 2$ ao isolar $z$) e calcula $(-1) \cdot 2 \cdot 2 = -4$.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Com $x = -1$ e $y = 2$, erra a soma $-1 + 2$ na primeira equação achando $2 + z = 6 \implies z = 4$, o que leva ao produto $(-1) \cdot 2 \cdot 4 = -8$.

• C

  Alternativa correta

  Alternativa C: De $L_3 - L_1$ sai $y = 2$, de $L_2 - L_3$ sai $x = -1$ e de $L_1$ sai $z = 5$, dando $x \cdot y \cdot z = (-1) \cdot 2 \cdot 5 = -10$. Responde exatamente ao comando.

• D

  Alternativa incorreta

  Alternativa D: É a que mais pega: encontra $x = -1$ e $y = 2$, mas troca o sinal de $x$ para $+1$ ao substituir em $x + y + z = 6$, achando $z = 3$ e multiplicando $(-1) \cdot 2 \cdot 3 = -6$.