Matemática

O que a questão pede

O valor numérico de $\log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{2}{c}\right)$, em que $a$, $b$ e $c$ são as raízes de $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0$. Não tente resolver a equação de grau $3$ primeiro: junte as três frações pelo MMC para usar direto as relações de Girard.

Passo a passo

1. Junte as frações dentro do logaritmo pelo MMC: o denominador comum de $a$, $b$ e $c$ é o produto $abc$. Assim, $\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = \frac{2(ab + bc + ca)}{abc}$. Fazer isso antes transforma uma conta sobre três raízes desconhecidas em duas relações de Girard.
2. Tire os produtos das raízes pelos coeficientes da equação: em $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0$, temos $A = 1$, $B = -3$, $C = 4$ e $D = -2$, logo Girard dá $ab + bc + ca = \frac{C}{A} = 4$ e $abc = -\frac{D}{A} = 2$. A soma $a + b + c = 3$ não entra na conta.
3. Calcule o valor do parêntese e aplique o logaritmo: substituindo na fração, $\frac{2(ab + bc + ca)}{abc} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$. Agora basta resolver $\log_{\frac{1}{2}}(4) = x \implies \left(\frac{1}{2}\right)^x = 4 \implies 2^{-x} = 2^2 \implies x = -2$.
4. Confira encontrando as raízes da equação: como a soma dos coeficientes é $1 - 3 + 4 - 2 = 0$, $a = 1$ é raiz e o polinômio fatora em $(x - 1)(x^2 - 2x + 2) = 0$, com raízes $1$, $1 + i$ e $1 - i$. Somando $\frac{2}{1} + \frac{2}{1+i} + \frac{2}{1-i} = 2 + (1 - i) + (1 + i) = 4$, o logaritmo na base $\frac{1}{2}$ confirma $-2$.
5. Marque a alternativa C: o valor numérico do logaritmo pedido no comando é igual a $-2$.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa incorreta

  Alternativa A: É a que mais pega: esquece o fator $2$ no numerador de cada fração e calcula apenas $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{4}{2} = 2$, chegando em $\log_{\frac{1}{2}}(2) = -1$.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Não há conta plausível que leve a este valor. Para o logaritmo valer $0$, o parêntese teria de dar $1$; o valor só atrai quem confunde a raiz $x = 1$ da equação com o logaritmando.

• C

  Alternativa correta

  Alternativa C: Por Girard, $ab + bc + ca = 4$ e $abc = 2$, então $\frac{2(ab + bc + ca)}{abc} = 4$ e $\log_{\frac{1}{2}}(4) = -2$. Responde exatamente ao comando.

• D

  Alternativa incorreta

  Alternativa D: Esquece o fator $2$ dos numeradores (achando soma igual a $2$) e ainda ignora o inverso na base $\frac{1}{2}$, calculando $\log_2(2) = 1$.