Matemática

O que a questão pede

O valor da constante $K$ na parábola $f(x) = Kx^2 + 3\sqrt{3}$ que passa pelos vértices $M = (0,\, 3\sqrt{3})$, $P = (-w,\, 0)$ e $Q = (w,\, 0)$ de um triângulo equilátero. O termo independente $3\sqrt{3}$ já é a altura do triângulo; use essa altura para descobrir $w$ e substitua o ponto $Q$ na função.

Passo a passo

1. Identifique a grandeza pedida e meça o triângulo pelos eixos: para achar a constante $K$ de $f(x) = Kx^2 + 3\sqrt{3}$, é preciso conhecer $w$. Como $P = (-w, 0)$ e $Q = (w, 0)$ estão no eixo $x$ e $M = (0, 3\sqrt{3})$ no eixo $y$, o lado mede $L = 2w$ e a altura mede $h = 3\sqrt{3}$. Ler base e altura nos eixos evita fórmula de distância.
2. Descubra a abscissa positiva pela fórmula da altura: em um triângulo equilátero de lado $L = 2w$, a altura vale $h = \frac{L\sqrt{3}}{2} = \frac{2w\sqrt{3}}{2} = w\sqrt{3}$. Igualando à altura dada, temos $w\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \implies w = 3$. Usar $L = 2w$ protege contra o erro de achar que o lado mede $w$.
3. Substitua o vértice da direita na função para isolar a constante: como $Q = (3, 0)$ pertence ao gráfico de $f(x) = Kx^2 + 3\sqrt{3}$, vale $f(3) = 0$. Assim, $K \cdot 3^2 + 3\sqrt{3} = 0 \implies 9K = -3\sqrt{3} \implies K = -\frac{3\sqrt{3}}{9} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
4. Confira pela distância entre os vértices: igualando $MQ^2 = PQ^2$, temos $(3 - 0)^2 + (0 - 3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36$, que bate com $(2w)^2 = 6^2 = 36$. Além disso, $K$ precisa ser negativo porque a parábola tem vértice em $M$ acima do eixo $x$ e abre para baixo.
5. Marque a alternativa D: o valor da constante $K$ pedida no enunciado é $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa incorreta

  Alternativa A: É a que mais pega: acha $w = 3$ certo, mas ao substituir $Q = (3, 0)$ em $Kx^2 + 3\sqrt{3} = 0$ faz $3 \cdot 2 = 6$ no lugar de $3^2 = 9$, obtendo $K = -\frac{3\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Não há conta plausível que leve a este valor. Ele troca $\sqrt{3}$ por $\sqrt{2}$ no numerador, imitando a raiz de $45^\circ$ no lugar da relação de $60^\circ$ do triângulo equilátero.

• C

  Alternativa incorreta

  Alternativa C: Não há conta plausível que leve a este valor. Ele reproduz a razão trigonométrica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ de $45^\circ$ com sinal negativo, sem relação com a altura $3\sqrt{3}$.

• D

  Alternativa correta

  Alternativa D: Com lado $2w$ e altura $w\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$, sai $w = 3$; substituindo $Q = (3, 0)$ em $9K + 3\sqrt{3} = 0$, resulta $K = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. Responde exatamente ao comando.