Física

O que a questão pede

O comando quer a razão $W'/W$ entre a nova unidade de trabalho $W'$ e a antiga unidade $W$ quando as bases de comprimento, massa e tempo passam a valer $2L$, $3M$ e $2T$. Procure a fórmula dimensional do trabalho em função de $M$, $L$ e $T$ e aplique os novos fatores em cada expoente. Ignore fatores numéricos de fórmulas como o $1/2$ da energia cinética, pois são adimensionais.

Passo a passo

1. Escreva a dimensão do trabalho no sistema original: queremos a razão adimensional $W'/W$ entre as unidades de trabalho. Como trabalho é força vezes deslocamento ($W = m \cdot a \cdot \Delta s$), com massa $M$, aceleração $L T^{-2}$ e deslocamento $L$, a unidade coerente é $W = M^1 L^2 T^{-2}$.
2. Substitua as novas bases na fórmula dimensional: o enunciado define o novo sistema com $L' = 2L$, $M' = 3M$ e $T' = 2T$. Trocando cada grandeza fundamental na mesma expressão coerente, temos $W' = (3M)^1 \cdot (2L)^2 \cdot (2T)^{-2}$.
3. Separe os fatores numéricos das letras de base: elevando cada parêntese ao seu respectivo expoente, obtemos $W' = 3^1 \cdot 2^2 \cdot 2^{-2} \cdot (M^1 L^2 T^{-2})$. Fazer isso passo a passo protege contra o erro de esquecer que o expoente do tempo é negativo.
4. Simplifique o produto e confira pela velocidade: como $2^2 \cdot 2^{-2} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$, os fatores de comprimento e tempo se cancelam e resta $W' = 3 W$, logo $\frac{W'}{W} = 3$. Para conferir, dobrar o comprimento ($2L$) e o tempo ($2T$) mantém intacta a velocidade ($L/T$), fazendo o trabalho variar só com a massa ($3M$); marque a alternativa C.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa incorreta

  Alternativa A: É a que mais pega: multiplica o fator da massa pelo quadrado do fator do comprimento ($3 \cdot 2^2 = 12$) e esquece de dividir pelo quadrado do fator do tempo ($2^2 = 4$). Também sai se alguém escrever $M^1 L^1 T^1$ e fizer $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Esquece o fator $3$ da massa e repete apenas o fator $2$ do comprimento ($2L$) ou do tempo ($2T$), ou subtrai os termos fazendo $3 \cdot 2 - 2^2 = 2$.

• C

  Alternativa correta

  Alternativa C: A dimensão de trabalho é $W = M^1 L^2 T^{-2}$. Substituindo $3M$, $2L$ e $2T$, temos $W'/W = 3 \cdot 2^2 / 2^2 = 3$.

• D

  Alternativa incorreta

  Alternativa D: Não há conta plausível que leve a este valor, pois qualquer produto de potências de $3$ e $2$ só tem fatores primos $2$ e $3$, nunca $5$. O número $10$ imita uma soma indevida dos fatores, como $3 \cdot 2 + 2^2 = 10$.