Matemática

O que a questão pede

A equação da reta horizontal tangente à parábola $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$. Toda reta horizontal tem a forma $y = k$, e o único ponto em que uma reta horizontal tangencia uma parábola é o seu vértice. Basta achar a ordenada do vértice $y_V$, sem precisar calcular as raízes da função.

Passo a passo

1. Identifique o que a equação pede: uma reta horizontal tem equação $y = k$, constante para qualquer $x$. Para ser tangente à parábola, ela precisa tocar a curva em um único ponto, que é o vértice $V = (x_V, y_V)$, logo a resposta é $y = y_V$.
2. Separe os coeficientes e ache a abscissa do vértice: em $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$, temos $a = 3$, $b = 2$ e $c = -5$. A coordenada horizontal do vértice vale $x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}$. Guardar o valor de $x_V$ como etapa intermediária evita confundi-lo com a resposta final.
3. Calcule a ordenada do vértice na função: substituindo $x_V = -\frac{1}{3}$, temos $y_V = f\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{3}\right) - 5 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{16}{3}$. Colocar todas as parcelas no denominador $3$ protege contra erro de sinal na soma.
4. Confira por outro caminho e pelo sinal: com $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 64$, a fórmula $y_V = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{64}{12} = -\frac{16}{3}$ dá o mesmo valor. Além disso, como $a = 3 > 0$ e $f(0) = -5$, o mínimo da parábola tem de ficar abaixo de $-5$.
5. Marque a alternativa D: a equação da reta horizontal tangente à parábola dada é $y = -\dfrac{16}{3}$.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa incorreta

  Alternativa A: É a que mais pega: calcula $x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ e coloca a abscissa do vértice no lugar da ordenada $y_V$.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Esquece o sinal negativo da fórmula $y_V = -\frac{\Delta}{4a}$ e faz $\frac{64}{12} = +\frac{16}{3}$, ignorando que o vértice fica abaixo de $f(0) = -5$.

• C

  Alternativa incorreta

  Alternativa C: Divide apenas o termo independente $c = -5$ por $a = 3$ (que é o produto das raízes $\frac{c}{a}$) e ignora o termo linear $2x$.

• D

  Alternativa correta

  Alternativa D: No vértice, $x_V = -\frac{1}{3}$ e $y_V = f\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{16}{3}$, então a reta horizontal tangente é $y = -\dfrac{16}{3}$. Responde exatamente ao comando.