Matemática

O que a questão pede

O volume, em $\text{m}^3$, de um cubo inscrito em uma esfera de raio $1\text{ m}$. Não confunda cubo inscrito na esfera com esfera inscrita no cubo: aqui são os vértices do cubo que tocam a casca da esfera, então a ligação entre as duas figuras é a diagonal espacial do cubo.

Passo a passo

1. Monte a relação entre a aresta do cubo e o raio da esfera: para achar o volume $V = a^3$ em $\text{m}^3$, é preciso conhecer a aresta $a$. Como o cubo está inscrito na esfera de raio $R = 1\text{ m}$, os vértices opostos do cubo estão a uma distância igual ao diâmetro $2R = 2\text{ m}$.
2. Isole a aresta pela diagonal espacial do cubo: a diagonal do cubo mede $d = a\sqrt{3}$. Igualando ao diâmetro da esfera, temos $a\sqrt{3} = 2 \implies a = \frac{2}{\sqrt{3}}\text{ m}$. Deixar a raiz no denominador agora economiza conta antes de elevar ao cubo.
3. Eleve a aresta ao cubo para achar o volume: $V = a^3 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{2^3}{(\sqrt{3})^3} = \frac{8}{3\sqrt{3}}\text{ m}^3$. Separar $(\sqrt{3})^3 = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ protege contra o erro de esquecer o fator $3$ fora da raiz.
4. Racionalize e confira a ordem de grandeza: multiplicando numerador e denominador por $\sqrt{3}$, sai $V = \frac{8\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9}\sqrt{3}\text{ m}^3$. Como a esfera tem volume $\frac{4}{3}\pi R^3 \approx 4{,}19\text{ m}^3$, o cubo inscrito precisa ter volume bem menor ($\frac{8}{9}\sqrt{3} \approx 1{,}54\text{ m}^3$).
5. Marque a alternativa A: o volume do cubo inscrito na esfera é igual a $\dfrac{8}{9}\sqrt{3}\text{ m}^3$.

Alternativa por alternativa

• A

  Alternativa correta

  Alternativa A: De $a\sqrt{3} = 2R = 2$ sai $a = \frac{2}{\sqrt{3}}\text{ m}$, e $V = a^3 = \frac{8}{3\sqrt{3}} = \dfrac{8}{9}\sqrt{3}\text{ m}^3$. Responde exatamente ao comando.

• B

  Alternativa incorreta

  Alternativa B: Junta dois erros ao calcular $\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3$: eleva o numerador ao quadrado ($2^2 = 4$) e troca $(\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$ por $\sqrt{3}$ antes de racionalizar, chegando a $\frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}\sqrt{3}$.

• C

  Alternativa incorreta

  Alternativa C: É a que mais pega: acerta $2^3 = 8$, mas escreve $(\sqrt{3})^3 = \sqrt{3}$ em vez de $3\sqrt{3}$ no denominador e racionaliza dividindo por $3$ no lugar de $9$.

• D

  Alternativa incorreta

  Alternativa D: Racionaliza certo o denominador $(\sqrt{3})^3$ para $9$, mas faz $2^2 = 4$ em vez de $2^3 = 8$ no numerador.